声明：本篇幅系全网首篇关于双纽线有关数据计算方面最详细总结！关于双纽线种旋转体积的计算过程、推理方法由本人原创，盗版必究！
声明*：关于双纽线种旋转体积的计算过程和自创方法皆由本人在草稿纸上经过数次严格验算后得出。若本人自创的方法与其ta创作者的方法有雷同之处，请谅解！
注*：强烈建议读者、网友们在PC端、平板...上进行浏览阅读，以获得更佳阅读浏览体验。
注*：相对于高等数学或考研数学而言，本篇幅将出现大量超纲内容。望读者通过你自己的水平，选择性地吸收！
定义：设直线a，记A、B坐标分别为(-a,0)、(a,0)，若有一动点P(x,y)满足PA·PB=a²，那么点P的轨迹就是伯努利双纽线
事实上，以上两个形式并不是我们平时做题时经常遇到的。其实，稍微把上述定义修改一下就可以实现。
在本系列篇幅第一期中介绍了极坐标的旋转变换，那么由图2变成图3，就等于把图2逆时针旋转45°。
接下来关于双纽线有关数据计算，只考虑采用极坐标形式。在计算整条曲线弧长、面积、旋转体积、旋转表面积之前第一先考虑其对称性。
注2：上述定积分计算中用到了一类定积分的结论。此结论大致证明见本篇幅后半部分。
注2：以下计算双纽线旋转体积的原创方法和过程皆由本人在草稿纸上严格推导而出。若本人自创方法与其ta创作者的方法有雷同之处，请谅解！
注：不定积分代入积分上下限时，不用在乎常数C的影响。因为上下限是关于α的积分，代入上、下限后，常数C无变化，然后在上限减去下限的过程中，常数C会被抵消掉。
看来Vy的计算量要远小于Vx的计算量。计算Vx的过程过于繁琐，并且在计算Vx的过程中还出现了两个不定积分公式的推导。若不知道在极坐标下曲线绕x、y轴的旋转体积公式，而是将双纽线的极坐标形式转化为参数方程进行计算的话，那计算量将变得更加复杂。
在计算Vy的过程中，用到了经典著名的华里士(Wallis)公式，现呈现给大家。本篇幅后半部分还会为大家呈现推广的Wallis公式！
)，以及Gamma函数中的余元公式。这两个函数统称为Euler积分，其中Beta函数称为第一类Euler积分，Gamma函数称为第二类Euler积分。这里不过多介绍这两个函数背景，大家自行了解即可。若想解决I0定积分，得先从Beta函数基本形式入手。
如何将Beta函数与I0定积分联系起来？看到Beta函数中x、1-x相乘的形式了吗？
注1：证明这个关系要用到反常二重积分，详细证明过程可参见《数学分析——华师大四版下册》。由于过程太复杂，这里就不证明。
注2：正常的情况下，用Γ函数的情况多于B函数。知道了B函数与Γ函数的关系，以后遇到B函数定义形式中的那几种积分，就可以转化为Γ函数去进一步计算。
注：上述在计算I0定积分的过程中用到了几个常用Γ函数的结论，现呈现给大家。
在上述计算图3双纽线绕x轴的旋转体积时，得出了一类特殊的定积分计算结论，即
若让α、β分别为偶数或奇数，就得到华里士的推广结论。接下来还是分情况讨论
也可以得出相同的结论，第Ⅱ种情况只要α或β中的一个为偶数，另一个是奇数即可。例：计算
写到这里，读者不妨用B函数的相关公式去得出考研常用的点火公式。
到这里，有关双纽线的部分数据就整理至此。在做二重积分的习题时，偶尔会见到几个关于双纽线与其它曲线相结合的积分区域，特别要注意图2中的
关于双纽线的几何应用。个人而言，如果是期末考试且考试科目是高等数学(上)，大部分高校不可能会出现让你去计算双纽线弧长、旋转体积；如果是考研(
)，也不可能会出现让你去计算双纽线中双纽线绕x、y轴的旋转体积，因为这两个要用到Γ、B函数。注：如果你是考研er要参加统考数学(代号：301-303)考试，建议适当了解下Γ函数及其相关公式、结论。
，统考数学中出题的可能性不大。从本篇幅中计算图2双纽线绕x、y轴的旋转体积过程来看，计算过程看似在考研数学的范围内，但不太好命题，命题的质量需最大限度地考虑题自身的难度和参考者群体能力水平。话说简单点，如果考试中出现这种题，不管是选择、填空、解答题，有几率会使对考生的区分度太小。
80%左右的考生知道极坐标曲线旋转体积计算公式的话，个人觉得，这种题从某一种意义上是能出现在试卷上的。如果某年考研数学的试卷上出现了关于图2双纽线旋转体积之类的题，只可能得出一个结论：就是负责考研统考数学的那几个命题老头不按套路出牌！
开个玩笑而已，考研数学命题组每年出几张试卷给怀着希望与梦想上岸的莘莘学子，这个出题过程艰辛且不容易。在这里，给考研数学命题组们点个赞！
至此，关于内容概要中提到的常用曲线，若还有关于曲线的其它性质，请广大网友在评论区留言，本人看到后会选择性对文章进行补充。
由于篇幅过长，本系列将分成若干篇幅去汇总。文中若有错误的地方，恳请广大读者、网友们在评论区指正，在下表示万分感谢。
